\section{数域}

\begin{frame}{数集}
多项式是代数学中最基本的研究对象之一， 它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到。 本章就来介绍一些有关多项式的基本知识。 在中学代数中我们学过多项式， 现在的讨论可以认为是中学所学知识的加深，并且推广到更一般的情况。

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我们知道， 数是数学的一个最基本的概念。 我们的讨论就从这里开始。 在历史上， 数的概念经历了一个长期发展的过程， 大体上看， 是由正整数到整数， 有理数， 然后是实数， 再到复数。 这个过程反映了人们对客观世界的认识的不断深人。 中学数学的学习也基本上反映了这样一个发展过程。 回想一下， 中学数学中数的含义在不同的阶段实际上是不同的， 只是没有明确指出而已。

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按照所研究的问题， 我们常常需要明确规定所考虑的数的范围。 譬如说， 在解决一个实际问题中列出了一个二次方程， 这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关， 也就是与未知量所允许的取值范围有关。 又如， 任意两个整数的商不一定是整数，这就是说， 限制在整数的范围内， 除法不是普遍可以做的， 而在有理数范围内， 只要除数不为零， 除法总是可以做的。 
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因此， 在数的不同的范围内同一个问题的回答可能是不同的。 我们经常会遇到的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数， 它们显然具有一些不同的性质。 当然， 它们也有很多共同的性质， 在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论。 
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关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质。 代数所研究的问题主要涉及数的代数性质， 这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的。 有时我们还会碰到一些其他的数的范围， 为了方便起见， 当我们把这些数当作整体来考虑的时候， 常称它为一个数的集合， 简称\emph{数集}。
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有些数集也具有与有理数、实数、复数的全体所共有的代数性质。 为了在讨论中能够把它们统一起来， 我们引入一个一般的概念。
\end{frame}

\begin{frame}{数域}
  \begin{definition}
   设 $P$ 是由一些复数组成的集合， 其中包括 $0$ 与 $1$.
   如果 $P$ 中任意两个数 (这两个数也可以相同) 的和、差、积、商 (除数不为 $0$) 仍然是 $P$ 中的数，那么 $P$ 就称为一个\emph{数域}。
 \end{definition}

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 显然， 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数
 域。 这三个数域我们分别用字母 $\mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}$ 来代表。
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 全体整数组成的集合就不是数域， 因为不是任意两个整数的商都是整数。

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 如果数的集合 $P$ 中任意两个数做某一运算的结果仍在 $P$ 中，我们就说数集 $P$ \emph{对这个运算是封闭的}。 
 因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含 $0,1$ 在内的数集 $P$ 对于加法、减法、乘法与除法 (除数不为 $0$) 是封闭的，那么 $P$ 就称为一个数域。

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 下面来举一些例子。
 \begin{example}
   可有包含意义下最小的数域？是什么？
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   实际上最小的数域为有理数域$\symbf{Q}$ (显然最大的数域为$\symbf{C}$). 
   所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。
   \pause
   诚然，
   设 $P$ 是一个数域， 由定义， $P$ 含有 $1$. 根据 $P$ 对于加法的封闭性， $1+1=2,2+1=3, \cdots, n+1=n+1, \cdots$ 全在 $P$ 中，换句话说， $P$ 包含全体正整数$\symbf{Z}$.
   又因 $0$ 在 $P$ 中， 再由 $P$ 对减法的封闭性， $0-n=-n$ 也在 $P$ 中，因而 $P$ 包含全体整数。任何一个有理数都可以表成两个整数的商，由 $P$ 对除法的封闭性即得上述结论。
 \end{example}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{example}
     包含$\sqrt{2}$的最小的数域是什么？
     \pause
     包含$\sqrt{2}$的数域显然包含所有具有形式
 \[
 a+b \sqrt{2}
 \]
 的数 (其中 $a, b$ 是任何有理数)，而所有这样的数已然构成一个数域，因此这就是包含$\sqrt{2}$的最小的数域，也称为$\sqrt{2}$生成的数域。 
 通常用 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 来表示这个数域。
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 显然，数集 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 包含 $0$ 与 $1$, 并且它对于加、减法是封闭的。现在证明它对乘、除法也是封闭的。
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 我们知道
 \[
 (a+b \sqrt{2})(c+d \sqrt{2})=(a c+2 b d)+(a d+b c) \sqrt{2} .
 \]
 因为 $a, b, c, d$ 都是有理数， 所以 $a c+2 b d, a d+b c$ 也是有理数。 这就说明乘积 
 \[
   (a+b \sqrt{2})(c+d \sqrt{2})
 \]
 还在 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 内， 所以 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 对于乘法是封闭的。
 \pause
 设 $a+b \sqrt{2} \neq 0$,于是 $a-b \sqrt{2} \neq 0$ (为什么?), 而
 \[
 \frac{c+d \sqrt{2}}{a+b \sqrt{2}}=\frac{(c+d \sqrt{2})(a-b \sqrt{2})}{(a+b \sqrt{2})(a-b \sqrt{2})}=\frac{a c-2 b d}{a^{2}-2 b^{2}}+\frac{a d-b c}{a^{2}-2 b^{2}} \sqrt{2},
 \]
 因为 $a, b, c, d$ 是有理数， 所以 $a^{2}-2 b^{2}$ 是非零有理数， $\frac{a c-2 b d}{a^{2}-2 b^{2}}, \frac{a d-b c}{a^{2}-2 b^{2}}$ 也是有理数。 这就证明了 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 对于除法的封闭性。
 \end{example}

 \end{frame}

 \begin{frame}

 \begin{example}
   包含$\pi$的最小的数域是什么？
\pause
   显然包含$\pi$的数域要包含$\pi^n$, 对任意的非负整数$n$, 因为对乘法的封闭性；进而要包含$\pi$的整数系数的多项式$a_{0}+a_{1} \pi+\cdots+a_{n} \pi^{n}$, 因为对加减的封闭性；再而要包含
  所有可以表成形式
  \[\tag{$*$}
  \frac{a_{0}+a_{1} \pi+\cdots+a_{n} \pi^{n}}{b_{0}+b_{1} \pi +\cdots+b_{m} \pi^{m}}
 \]
的数%
 \footnote{由于$\pi$是超越数，$b_{0}+b_{1} \pi +\cdots+b_{m} \pi^{m}=0$ (其中$b_i\in \bZ$) 
 当且仅当所有$b_i=0$. 所有该分式的分母不等于$0$相当于这些$b_i$不全为零。}，
 其中 $n, m$ 为任意非负整数， $a_{i}, b_{j}$ ($i=0, \cdots, n$; $j=0, \cdots, m$) 是整数，因为对除法的封闭性。
\pause
 实际上所有可表为形如 ($*$) 的数的集合已然构成一个域，因而是包含$\pi$的最小的数域，也称为$\pi$生成的数域。验证留给读者去做。
 \end{example}

  \begin{nonexample}
   所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的。 
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   $\sqrt{2}$ 的整倍数的全体组成一数集， 它对于加、减法是封闭的，但对于乘、除法不封闭。 
\pause
   当然， 以上这两个数集都不是数域。
  \end{nonexample}
  \begin{exercise}
    证明最小的包含$i=\sqrt{-1}$的数域为$\bQ(i)=\left\{ a+bi\mid a,b\in \bQ \right\}$.
  \end{exercise}
\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为数域？举一些数域的例子。
  \end{enumerate}
\end{frame}
